《科探柯菲》第3/132页


  《几何原本》[4]中只用了五个公理和五个公设:五大公理:1.等于同量的量彼此相等。(即a=c,b=c,那么a=b)2.等量加等量,其和仍相等。(即a=b,c=d,那么a+c=b+d)3.等量减等量,其差仍相等。(即a=b,c=d,那么a-c=b-d)4.彼此能够重合的物体是全等的。(对于几何而言,相等就是重合。a与b重合,即a=b)5.整体大于部分。(即A=a+b,那么A>a,这一点后来被证明在无限的概念中无效)

  五大公设:1.由任意一点到另外任意一点可以画直线。2.一条有限直线可以继续延长。3.以任意的点为心及任意的距离可以画圆。4.凡直角都彼此相等。5.同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和,则这两条直线经无限延长后在这一侧相交(因为其表述麻烦,所以后人把它改成一种等价形式:过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。所以也称之为“平行公设”)。

  在希腊时期,公理和公设是有区别的。公理是数学各个分支都承认的基本道理,公设只是几何学中所需要的基本道理。现代学者已不再将它们区分,而统称为公理。其实我们现在来看公理跟公设,还是有区别的,这五大公理都非常简单,甚至看起来好像是多余的,和我们说“太阳每天早上会从东方升起”一样。可这正是公理的基本要点,简单而且大家都知道都接受。建立在这样的基础上的科学才是有效的真理。(当然要注意一点的就是随着科学的发展,我们不断地提高对我们人类自身感知能力的“认识”,我们不断地在建立一些新的“公理”,而这些公理已经超乎常人的见识。)可神奇正在于,一直到现在,这五大公理依然是不可推翻,而且是数学一切计算的基本法则;这是因为一开始这五*则就已经打破了人类的“感知”,它已经是抽象于现实世界的绝对理性。正如我们知道“世界上没有两片完全相同的叶子”,可是我们需要“相等”这个关系。

  五大公设的前四个和五大公理相同,它们都是简单而且能被大家接受。唯独“平行公设”,引起了很多的争论,后世数学家虽然承认第5公设是正确的,但大家都觉得它不像是“公设”,更像是一条可以被证明的“命题”。因为我们一看就知道它并不简洁,而又好像能够凭借画个图(如图1.1)就可以清楚看出来,知道三角形内角和为180。的人,乍一看就会觉得这是可以证明的。但奇怪的是,经过了二千年的时间,耗尽了无数数学家的热情与心血都未能找到对第5公设的一个合理证明!当然这也又一次印证了哲学的巧妙:越简单的越困难。所以,到了现在我们也觉得欧几里得相当了不起,这的确必须是个公设。

  奥妙之处,在于这里涉及的是直线,可以无限延长,而谁都无法到达无限去,比如两个内角的和无限接近180。的话,那么即使是在一平面上也是无限接近,却最终无法相交,可这样就不是相交于一点了。甚至,其中的一个关键点,三角形的内角和究竟是不是180。,还是一个大问题。180。是测量出来的,可不是证明出来的。高斯曾经找了三个山头,他认为很远了,然而测量的结果当然不是180。,因为测量是存在误差的,即使非常小。但是只要是非常小的差别,就不能明确是180。。这一点也看出了数学的抽象与严谨。

  当然,无聊的事情不是没有好处,一些数学家,俄国的罗巴切夫斯基(1829年《论几何基础》)和匈牙利的波尔约(1832年《绝对几何学》),还包括高斯(去世后留下的手稿)就借助对第5公设的思考而找到了“非欧几何”。他们发现即使否定了第5公设,我们仍然可以得到一个没有矛盾的几何体系,而这个体系就是非欧几何。他们都是假定过线外一点有两条直线与所给的直线平行,得到了两种全新的几何:双曲几何(内角和小于180。)、椭圆几何(内角和大于180。)。而且它们和欧氏几何在我们通常的尺度下都无法辨别,现在还没有测量仪器可以辨别,在正常尺度下,三种几何的三角形内角和都接近于180。。

  非欧几何的出现,给了我们很多的启发。张顺燕指出:“欧氏几何的诞生动摇了人们的真理观,使人们认识到数学只是一种思维的产物,不是客观世界的产物,同时又让人们看到三种几何,也就是说数学是逻辑的产物……从这三种几何可以看出,数学的的确确是同根异干,同干异枝,同枝异叶,每两个东西都是完全不一样的。[5]”而其实更关键的是,对根源的反思,正是创新的源泉。公理的建设就是数学的根的建设,最根本,最简单,也最重要。对于它们的理解和反思肯定会创造出更神奇的数学。现在,我们理解欧氏几何是一种中观的几何,他适用于我们的一般计算。不过涉及到宇宙宏观或者粒子微观世界,我们用的却是非欧几何。而这一点,恰好又告诉我们,公理和公设,随着人类思想和实践的进步,也会不断发展,而且借此又可以建设新的体系。这也是公理化思想的根本所在。

  现在,不妨思考一个有趣的问题,为什么刚好是五个公理,五个公设呢?难道与中国“五行”对应?当然不是。我们知道单一的公理,是无法进行任何有效的计算推演的。虽然我们可以清楚地看到五大公理之间有着某种单向的联系,可是这些依然得靠规定,不然当年为什么不加上“等量乘以减等量,其积仍相等”“等量除以等量,其商仍相等”呢?而且我们现在也知道,其实严格地说还需要更多的公设,比如有人发现,《原本》中的第一卷第一个命题的推理,就出了问题:在一个已知有限直线上作一个等边三角形。(如图1.2)

  设AB是已知有限直线.那么,要求在线段AB上作一个等边三角形.以A为心,且以AB为距离画圆BCD;[公设3]再以B为心,且以BA为距离画圆ACE:[公设3]由两圆的交点C到A,B连线CA,CB。[公设1]因为,点A是圆CDB的圆心,AC等于AB。[定义15]又点B是圆CAE的圆心,BC等于BA。

  但是,已经证明了CA等于AB;所以线段CA,CB都等于AB。

  而且等于同量的量彼此相等[公理1]三条线段CA,AB,BC彼此相等。

  所以三角形ABC是等边的,即在已知有限直线AB上作出了这个三角形。

  这就是所要求作的。

  以上这个方法,是运用标准的尺规作图,而且还是典范的运用个公理和公设进行证明。可是其中也有一个内容被忽略了,虽然这里作图规范,但其实还少了一个公设,就是分别由A和B为圆心,AB为距离所作的圆BCD和圆ACE至少有一个交点C。也许我们都会认为,画出来就有啊,但是画出来有并不一定存在,它可能只是个偶然性而已,而缺乏绝对的必然性。这一点非常重要!就如第5公设一样,我们画再多的不平行线都可以成功,但是我们无法证明它,所以它必须是公设,而不是什么能够推导出来命题。天地日月皆有缺,《原本》的缺憾是什么?没有人能够说清楚到底“公理”有哪些?因为“公理”的存在,依赖的是我们人类对于世界的认知,而这一认知是个不断进步的过程。由此可见,五大公理和五大公设是比较和谐,比较优雅的一个数字,数学家对数字有点迷信也是自然的。太多了,显得罗嗦,太少了用起来又会不方便。而且这也只是代表了当时的优雅成果而已。

  五大公理和五大公设的奥妙在于,凭借它们居然可以推演出整个几何学系统,而且显得那么无懈可击。最著名的例子要推英国哲学家霍布士(T.Hobbes,1588~1679)。下面是欧布烈(J.Aubrey)精彩的描写:那时,霍布士已年过40岁,在一个偶然机会下,他遇见了几何学。他无意中在图书馆里看到欧氏《几何原本》,正好打开在第一册的第47个定理,即勾股定理。读了该定理后,他的第一个反应是“我的天啊,这怎么可能!”他研读其证明,发现要用到前面的定理,于是翻到前面读之,又要用到更前面的定理,如此不断地逆溯倒读,最后终于来到几何的源头,即公理。霍布士于是肯定了勾股定理的真确性,也爱上了几何学[6]。我们现在看起来都会感觉相当神奇。这一种体系反映出来的思维,又是和五行思维相同了。《孙子兵法o势篇》中说:“声不过五,五声之变。不可胜听也。色不过五,五色之变,不可胜观也。味不过五,五味之变不可胜尝也。”其实也就是这样的道理。

  牛顿开始觉得欧几里得几何太过于简单,后来他发现了欧几里得的价值,不仅热心地向别人推荐它,还仿照《几何原本》的体系,从定义和定律出发,导出命题,再把结论和实验结果相比较,以公理化模式完成了《自然哲学的数学原理》。爱因斯坦也深受《几何原本》影响,他在《自述》中说,“在12岁时,我经历了另一种性质完全不同的惊奇:这是在一个学年开始时,当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的。这本书里有许多断言,比如,三角形的三个高交于一点,它们本身虽然并不是显而易见的,但是可以很可靠地加以证明,以至任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。至于不用证明就得承认公理,这件事并没有使我不安。如果我能依据一些其有效性在我看来是无容置疑的命题来加以证明,那么我就完全心满意足了。[7]”这段话,可以让我们看到了爱因斯坦对公理意义的非凡理解。公理、公设、定义就好像是七巧板,运用它们可以组合成几乎一切的图形,而因为它们是大家接受的“真实”,所以组合而成的也是“真实”。而且这些真实可以超越我们的感官,是确切的必然的。正是因为他体会了这些,才有了他在狭义相对论和广义相对论中的成果,我们可以从他的思考过程中发现“公理化思想”是其思维的模式[8]。

  吴文俊指出“东西方数学的异同,也就是现在欧美的数学跟东方数学(主要是古代的中国数学)有什么异同。我们学现代数学(也就是西方数学),主要内容是证明定理;而中国的古代数学根本不考虑定理不定理,没有这个概念,它的主要内容是解方程。我们着重解方程,解决各式各样的问题。[9]”中国数学曾经取得辉煌的成就,可是在近代却迟滞不前,关键一点就是中国缺乏这样的“公理体系”,也缺乏这样的“公理”思维,所以所有的收获都是零碎的,无法统一起来,也缺乏一种有效的统一和总结。

  总而言之,欧几里得几何是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域,对数学的发展产生了不可估量的影响,公理化结构已成为现代数学的主要特征。而且公理化思想已经成为科学的思维基础,对于各个学科的系统的建立,对于各个学科的发展都有着相当重要的意义。

  1.2定义的反思――完美定义就是不定义其实在《几何原本》中一开始列出来的是定义,不是公理。对于定义的反思,也是件有趣的事情。与公理公设的数量少而有限不同,欧几里得的定义(按十三卷本),总共有132个。这么多的定义,肯定容易出问题。

  首先,是对于定义存在的怀疑,有数学家指出:《原本》第一卷就首先给出23个定义,前面7个定义(1.点是没有部分的。2.线只有长度而没有宽度。3.一线的两端是点。4.直线是它上面的点一样地平放着的线。5.面只有长度和宽度。6.面的边缘是线。7.平面是它上面的线一样地平放着的面)实际上只是几何形象的直观描述,后面的推理完全没有用到。不过,这一点其实不重要,因为欧几里得给出这些定义,很可能只是想要明确表达自己的一些概念理解。

  其次,是对于定义本身的怀疑。克莱因批评说:“在这部著作中,欧几里得当时所给出的这些术语,并不是物质实体本身,而是从物质实体中抽象出来的概念。他说,点,就是不包括任何部分的东西。欧几里得在下定义方面,走向了不必要,不明智的极端。一个具有逻辑结构、自足的体系,必须从某一个起点开始。不能指望对每一个使用的概念都给出定义,因为下定义就是用其他的概念去描述一个概念,而前者又必须通过其他的概念来描述。很明显,如果要使这个过程不至于循环……[1]”克莱因的评价,其实说的和“公理”的“先天”本质差不多,定义尤其是具有原始意义的定义,必须是空缺的,不需具体的;而且这些不规范的定义没有影响研究,其实也揭示了这些定义的无意义。所以希尔伯特(DavidHilbert,1862~1943)1899年发表著名的《几何基础》一书。引入了“点”“线”“面”“通过”“在……之间”“相等”6个不加解释的定义。被称为对《几何原理》工作的最好完善。

  再次,克莱因认为“并非所有的概念都能在一个独立的系统中得到定义。所有的概念都源于一定的物质实体,并且代表着这些物质实体。但是,物质的意义并不能给这种正式定义以任何帮助,因为它们并不是数学的内容。令人惊奇的是,几何学中的一些无法定义的概念,并没有给研究带来麻烦。[1]”他指出了物质与定义之间一种微妙的关系,简单地说就是物质(现实世界)给我们带来定义,可是它始终无法与数学的定义直接划上等号。理解这一点很重要。比如彭罗斯和霍金一起发表“奇点定理”的报道,非常简单地将其结果概括为“宇宙诞生自一个奇点”,然而,彭罗斯本人称“奇点这个词给人的印象好像本身暗示了什么,其实那不过是‘这个数学模型用在这里不很合适’的意思。”他还说,“太遗憾了。面向大众的解释的确常常就是这样写的……不过,我的真正意思其实是‘需要有新的理论’。[10]”如何理解彭罗斯这些话呢?按照目前的“大爆炸理论”,必须存在一个“奇点”,而这个概念超出了人类的理解,我们觉得这是不可能的,甚至连最纯粹的数学都无法与这样的概念相对应。可是事实又多次证明,宇宙的真相总是超乎人类狭隘的“常识”。如彭罗斯所言,这代表新的理论来解释。

  最后,有人认为欧几里德的定义含混不清。其实,“含混不清”是表述与理解必然存在的矛盾。欧几里德的表述,在几千年前,和中国的文言文差不多,限制于文化传播工具,不可能详细,所以我们现在来看必然有这样的问题。而且,定义体现着人类对于物质世界认知的进步和发展,所以总是有其时效性。比如,对于“时间”“空间”“零”这些基本的概念,到现在依然在不断地进行深入,而优秀的数学家、自然科学家总是抓住了关键,把握到被别人忽略的属性,创造出新的“定义”,牛顿理解“线是移动的点留下的轨迹,面是移动的线形成的”,如果不这么思考,那么只有位置,没有大小的“点”连起来就可以是“线”么?无数的没有宽度、只有长度的“线”,可以连接成“面”么?

  可见“定义”,尤其是基本的定义,如果能够作到“若有若无”,让大家都能够体会“此中有真意,欲辨已忘言”,才是最好的。而完美的定义,只能是不定义。更重要的是,定义是研究的基础,它体现着极大的思想性和关键性。

  1.3具体方法――几近于道留存的欧几里得资料很少,我们无法知道他工作的具体过程,只知道《几何原本》是集大成之作,所以,我们只能从《几何原本》中具体的证明过程,探讨他的思维方法。

  欧几里得运用的方法不多,但是运用自如了,又好像可以解决所有问题。而且仔细思考就会发现,《几何原本》几乎涵盖了数学思维的方法,可以称“大盈若冲,其用不穷”,几近乎道。

  1.3.1综合法与分析法――基本的思维方法有人称欧几里得提出综合法和分析法。这样的说法是很不牢靠的,虽然这两种方法是数学的基本方法,而且很自然,也很必然地可以在欧几里得的证明中找到这样的思路。但欧几里得没有也不可能明确提出这样的概念和说法。我们只能妥帖地称:欧几里得示范地规定了几何证明的方法,包括综合法和分析法。

  综合法和分析法,是最简单最基本,也最通俗的思维方式。证明一个命题的正确时,我们先从已知的条件出发,通过一系列已确立的公理、定义、命题,逐步推演,直到要证明的结果,这种思维方法,就叫做综合法。而很明显这是我们正常的思维顺序,即“由因导果”。相反地,先从结论出发,然后追究它成立的原因,再看这些原因成立又需要什么条件,如此逐步往上逆求,直至达到已知的事实,这样一种思维方法就叫做分析法,也即“执果索因”。欧几里得一般的证明过程的描述,都可以让我们看到综合法的运用;当然体现综合法的表述,很可能思考过程却是采用了相反的分析法,就像我们解题一样,可以从结论逆推,然后按顺序书写答案。

  具体而言,关键只在于以什么为先以什么为后。我们一般思考问题也是如此,1912年蔡元培担任教育部部长,刚上任他就和朋友兼搭档――次长范源濂有了一个争论:范认为小学没办好,怎么能办好中学,中学没办好,怎么能办好大学,所以教育的重中之重就是整顿小学;蔡则认为没办好大学,中学师资从哪里来?没办好中学,小学的师资哪里来?所以应当整顿大学。[11]争论的结果当然是同时进行。这就体现了两种处理问题的思维方式,一是自上而下,一是自下而上。而且有这两种,当然就必然有第三种,从两头到中间,而有第三种就有第四种:从中间到两头。

  比如,“全球变暖”引发科学家对于二氧化碳的研究,要研究地球二氧化碳的变化是个很困难的过程。为了对更久远的二氧化碳水平有所认识,研究人员不得不依靠间接的方法:查看化石叶片中的气孔密度。植物需要让二氧化碳进入气孔,也通过这些气孔失去水分,植物通常没有不必要的东西。美国康涅狄格州米德尔顿卫斯理大学的丹纳o罗耶(DanaRoyer)说:“人们观察到,在二氧化碳增加时,很多植物的气孔密度减少,这趋向于是一种物种特异性反应。”[12]这一方法,其实就是从两头推中间,这在具体的解决问题中更常见,也更能体现出思维的能力。我们总是存在“已知”和“想知”,就是不能一步步顺序推理,所以必须找到中间的某个点,以此连接前后,形成明确的科学逻辑过程。就如这一成功案例,我们知道现在的二氧化碳情况,但是对于过去我们不清楚,想知道。这里没有一个必然的推理过程,所以我们只能运用已知的二氧化碳跟植物关系的知识,和利用存在的植物化石来研究。

  可能欧几里得在具体的思维过程中,运用过这样的方法,只是我们无法看到;所以康托创造“对角线法”可以说是方法上的真正创造,“对角线法”体现了一种由内而外的技巧(具体参考下文康托部分)。

  1.3.2切分与延伸思维――对单一事物的处理方法在《几何原本》的第一卷中,我们可以看到很多简单而好像没有意义的作图证明。其实这一切都是必要的铺垫。就霍布士的感悟,可以看到它们都是为“勾股定理”这样的大命题,甚至是一切几何证明作铺垫。比如,命题9(“二等分一个已知直线角”)、命题10(“二等分已知有限直线”)和命题11(“由已知直线上一已知点作一直线和已知直线成直角”)、命题12(“由已知无限直线外一已知点作该直线的垂线”),其实说到底只是指出“二等分角和线”“作垂线”是必然可行的。而命题31(“过一已知点作一直线平行于已知直线”)和命题1(“在一个已知有限直线上作一个等边三角形”)、命题46(“在已知线段上作一个正方形”)也只是指出作平行线、外接等腰三角形、外接正方形的必然可行性。这两类其实是对某一几何对象的处理方法:一是切分、一是延展。欧几里得其实就是运用了这两种简单而根本的方法来解决问题的。

  具体而言,我们来看看命题10的证明。(如图1.3)

  二等分已知有限直线.设AB是已知道有限直线,那么,要求二等分有限直线AB.设在AB上作一个等边三角形ABC.[Ⅰ.1]且设直线CD二等分角ACB.[Ⅰ.9]则可证线段AB被点D二等分.事实上,由于AC等于CB,且CD公用;两边AC、CD分别等于两边BC、CD;且角ACD等于角BCD.所以,底AD等于底BD.[Ⅰ.4]从而,将已知有限直线AB二等分于点D.作完这里运用了卷一中的命题1、9、4,来证明可以二等分已知有限直线。具体来说,运用命题1只是为了作外接等边三角形,运用命题9只是为了作角平分线。通过对直线AB的延展,再切分,终于解决了问题。如果不这样处理,单一的一条线,几乎没有思考和处理的可能。这点联系我们平常处理问题,如果是对某一个独立问题的思考,要么对该问题进行分解分析,要么联系其他相关问题来解决问题,否则无从下手。

  这也就是说明,其实,欧几里得在具体处理问题时,运用了两种非常简单的技术性思维:延展与切分。而延展和切分的具体措施,除了上面提到的那些还有很多。但不管有多少,其基本的思路很简单,就是延展与切分。延展与切分,与中国哲学“一阴一阳之谓道”一样,虽然简单,但是却是根本,运用起来效用无穷。

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