《科探柯菲》第5/132页
运用这样的方法，我们就可以计算其他切线的斜率，而且能够从直接描述运动轨道的函数得到描述速度的函数。比如计算函数“”上经过任意一点的切线的斜率，已知道斜率为，现在我们必须把斜率与具体函数联系起来，才可以用来计算具体的运动曲线。设任意点为A，而借助函数中与的关系，我们可以得到其坐标为A，那么它经过瞬时到达点A′的坐标就是。因为点A′仍然在该函数曲线上，所以我们可以把这个坐标值，再代入原来的函数，可以得到这样的关系，运用公式分解前式，可以得到，等式前后都减去，并除以，就可以得到，由于无限小，所以可以忽略，于是就可以得到答案。这样斜率与的对应关系就建立起来了。如果以斜率建立一个新函数，那么就是。也就是说函数上任意一点的切线的斜率都可以用函数来表示，而且这样表示出来后，就可以迅速地计算任何一点的斜率。
这样我们无须重复进行复杂的计算，只需要给出曲线上任意一个点，我们就可以马上得到其斜率。在概念上，我们把新函数叫做“导数”，求导数叫做“对函数进行微分”。运用这样的方法，我们就可以对其他一些函数进行微分。利用导数快速地分析物体的瞬时运动。这一切都有赖于牛顿“动点”的理解。当然，到了这里，我们依然无法像分析匀速直线运动那样处理曲线运动，这还需要更多的工作。
2.2.3帕斯卡求积思路至于积分，以帕斯卡的求积方式来理解最简单易懂，因为帕斯卡沿用了“穷竭法”的思路，而且“他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法（1654年），这种思想对莱布尼茨和牛顿有很大影响”[8]。帕斯卡在计算以曲线y=x2为一边的曲边三角形面积时，把由曲线y=x2，x轴和直线x=a（相当于在曲线上取任意一点，作垂直于x轴的线，该点的横坐标为a，当然按照函数公式可以计算出其纵坐标为a2）围成的图形的底分成n等分，于是得到n个矩形（如图1.7），他称这些矩形为“无穷小矩形”（画图中为了清楚表示矩形而显得与曲线包含面积有巨大的差距，其实这些矩形理解起来几乎就是一条条直线）。因为是均分的，所以每个矩形的底都是d，而每个矩形的高，都可以由y=x2计算出来。这样每个小矩形的面积都可以计算出来，把这些小矩形的面积加上来就获得了接近曲边三角形的面积。这个面积计算开来就是…，将这一公式继续简化，可以得到…，而，所以。帕斯卡认为，充分大时，可以略去，于是可以得到。因为是任意的，而且与轴对应，所以可以建立新的函数，就是。而它就是函数的积分函数，称之为“原函数”。也就是说，现在，只要知道任何一个点A，都可以迅速得到曲线到达该点时扫过的面积。他还用这一方法，计算出一般曲线轴和直线所围成的曲边梯形面积为，这个结果已经和现代积分的结果相同，只是他没有解释清楚为什么略去诸如和这样的项，也没有得出一般的积分法则。而这样的工作将由牛顿他们来完成。
牛顿对于积分具体推演过程相对比较复杂，但是可以知道的是和他思考微分相应，他把线看成是运动的点走过的轨迹，而面是移动的直线形成的。这个也是他的过人之处，不仅把静态的动态化，把抽象的形象化；而按照欧几里得的概念，再多的点要形成线，再多的线要形成面，都是不可能的。可见，定义对于思维的巨大影响。
这里，我们可能注意到两个问题：一、求积分的用途只在于计算曲线扫过的面积，它与微分有什么关系；二、积分对于曲线运动的分析有什么意义。这两个问题的解决其实关键就在明确微分与积分的关系。
2.2.4微分和积分是逆向运算对于牛顿发明微积分的基本过程，理查德o韦斯特福尔这样描述：牛顿从他读过的大师的著作中选出了两个中心问题，用新分析法来表述：给曲线画切线，求曲线下的面积。从笛卡尔的《几何学》，牛顿发现了在定点给曲线画切线的一种方法，就是在此点找出该曲线的法线，它垂直于切线。牛顿很快掌握了这一方法，以他典型的方式用模拟方程记下了通用式。他的第一步成功就是将笛卡尔的方法延伸到求曲率中心――用他的术语讲就是“曲度”――随后是求最大和最小曲率点。求积时，他主要是依靠在约翰o沃利斯著作中发现的无穷小法……他超过其良师的第一个重要成就是：沃利斯曾用无穷级数计算面积，牛顿将之发展成我们今天所知的二项式定理，牛顿几次都把这一成就的完成期定在1664～1665年冬天……牛顿的运算不断地用图式表现出来。对求积，则为。如果不用这一方式，“是否可以求出另一条曲线的积呢？”1665年春，牛顿开始严肃地探索新途径的可能性，他把自己在确定切线时观察到的图式和类似但逆向的求积图放在一起比较……他得到了回报；发现了微积分的基本原理。切线和求积之间的关系突然被发现了，是逆关系。[9]从韦斯特福尔的描述中，我们可以知道牛顿先将研究的对象直观化，变成更容易看出问题的图式；并运用比较的方式去探讨问题，发现了微分和积分的互逆关系。牛顿在1711年出版的《运用无穷多项方程中的分析学》中，给出了求瞬时速度的普遍方法，阐明了求变化率和求面积是两个互逆问题，从而揭示了微分和积分的联系[10]。具体理解其互逆关系，其实不难：既然是点运动成线，线运动成面；那么把点看成无限小的线段，把线看成无限窄的面，它们的互逆关系自然也容易理解。
而且“在《两种新科学》[11]一书中，伽利略……证明了在时间―速度曲线下的面积就是距离。”所以，很自然地，牛顿或者其他人，早晚会发现这一个逆向对应。而如图1.8所示，这样的逆向，打破了我们以往只能够作到的“在匀速直线运动过程中，或者以平均速度作为计算时，利用速度、时间、位置中两个数量推算第三个”的限制。即使是变速运动，只要是恒加速运动，我们就可以以其中一个量得到其他的任何两个数量。当然，这要运用到的就是这个互逆关系。我们可以这样理解：在描述运动速度的曲线上，点的变化反映出加速度的产生，所以对速度曲线的微分就可以得到加速度；而在描述运动距离的曲线上，点的变化反映出速度的产生，所以对距离曲线的微分就可以得到速度。换过来，加速度每秒扫过的面积就是速度；而速度每秒扫过的面积就是距离；所以加速度的积分就是速度，速度的积分就是距离。
而上面的内容就是微积分最有意义的内容了，有了它，结合牛顿力学，我们不仅可以计算地球上的运动物体在未来的位置或速度，甚至还可以推测在宇宙空间运动的天体在未来任何时刻的位置或速度。哈雷正是运用了这套方法，才准确地计算出哈雷彗星的回归；而这也彻底地推翻了人类对于天体的迷信，建立起人类对于自身理性的信念。所以，恩格斯才会说：“在一切理论在就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩，那就正是在这里。[12]”
从微积分又一次可以看出，数学中的对应关系。而且在创造它们的过程中，主要运用的是抽象、形象思维，几何与代数的对应变换。
2.3微积分的后续工作韦斯特福尔还提到一个问题：沃利斯把面积看成是各个微元的静态相加；而他现在用的是动态处理，就像是一条线扫过这个面积。牛顿的切线方法是以微元为基础的，对此他一直感到不安……连续变化运动的概念凭直觉似乎可以克服除不尽的数的间断性，牛顿从未停止过对它的思考[9]。
可见，沃利斯的方法同我们用来理解积分所使用的帕斯卡的方法相似，牛顿使用“连续变化运动的概念”虽然直觉上可以比之更好克服“间断性”问题，但其实依然无法回避“无穷”的难题――凭什么说，“无限小”能够“走”出“有限大”的距离来。而且这里，已经加入了“绝对时间”的观念。
也就是说，微积分最重要的就是利用了一个“无穷”的概念。这个概念用得很巧妙，却有着根本的问题。这一问题就引出了第二次数学危机。再一次让数学家对于数学的基础和完全性进行反思。
随着实践和理论的发展，数学家需要不断完善方法。林群认为：“它（微积分）很完美，但并非天衣无缝、不可商量，它的聪明解法（例如牛顿-莱布尼兹公式）偶尔会有，但大多失灵。需要发展‘笨’办法，要有普适性，这就是算法加计算机，它是由冯o诺依曼等发明的，已经逐渐成为当今解决科学与工程问题的第三手段（其他两种手段指科学的理论和实验）。[13]”也就是说，数学要与现实世界联系起来，需要“巧”和“拙”的结合，才是最有效的。再伟大神奇的方法，仍有缺陷，仍需要新的补充。而作为补充的“拙”――计算机，到头来也是出自于数学家们对于“完美”的追求，在解决数学危机中的“意外”成果。
注释：[1]转引自《Leibniz如何想出微积分？》蔡聪明《数学传播》十八卷第三期[2]《世界数学史》杜石然孔国平主编吉林教育出版社2009[3]《西方文化中的数学》[美]莫里斯o克莱因（MorrisKline）著张祖贵译复旦大学出版社2005[4]相近的还有达尔文和华莱士发现“进化论”，爱因斯坦与物理学家弗利茨o哈泽内尔（FritzHasen"ohrl，奥地利）发现质能方程，牛兰兹和门捷列夫发明元素周期表，贝尔与安东尼奥o梅乌奇发明电话。
[5]为了能够理解微积分背后的思维，尽可能地寻找最简单的理解方法，这部分内容整合了《科学世界》和《世界数学史》中的具体推演思路，对于微积分的具体发明思路进行简单的分析。《科学世界》2011年第4期《微积分o最伟大的数学成就》王鸣阳翻译科学出版社[6]希腊字母，读作“奥米克戎”。
[7]这里我们既可以看到代数的奥妙，先用符号来代替实际的变量，根据数量之间的变化关系和运算法则，在具体地运算中，进行简化，最终找到出乎意料的结果。又可以看到对于瞬时速度的借用，既使用了它简化了问题，又不会因为引入它而增加任何麻烦，这与中国传统数学中解决“借驴分驴”的问题（三兄弟分十一头驴，老大二分之一，老二四分之一，老三六分之一。必须先借一头驴，分后还回这头驴）体现的智慧是一样的。
[8]这里引用《世界数学史》中的理解来说明，具体一些符号，为了与前面对应，而且更清楚，稍作了调整。
[9]引自《牛顿传》理查德o韦斯特福尔（RichardWestfall）著郭先林等译中国对外翻译出版公司2001[10]转引自《科学技术发展简史》王士舫董自励编著北京大学出版社2005[11]全名是《关于两种新科学的论述与数学证明》，DiscoursesandMathematicalDemonstrationsConcerningTwoNewSciences，1634。转引自《世界数学史》[12]《恩格斯自然辩证法》于光远等编译人民出版社1984[13]《让微积分飞入寻常百姓家》林群，《科学世界》2011年04期科学出版社
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作品相关介绍 一3 3完全性的追求――从康托尔到哥德尔
3.1用一个案件来理解数学史黑泽明的著名电影《罗生门》（Rashomon，日，1950），说的是案件因为有了各种主观意识的交错，所以无法找到真相。张艺谋的《三枪拍案惊奇》也讲案件，说的是因为有了各种不同目的的驱动，所以除非存在着一直在旁观的上帝，否则没有人能够知道真相。现实世界里的案件也是如此的，《宋史o欧阳修传》中载：“（欧阳修）方贬夷陵时，无以自遣，因取旧案反覆观之，见其枉直乖错不可胜数，于是仰天叹曰：‘以荒远小邑，且如此，天下固可知。’”一个小地方的案件都错乱不堪，何况天下的其他。幸好还是有欧阳修这样坚持的人，这个世界的法律秩序才不会被破坏。
齐民友这样概括数学的特点：追求一种完全确定、完全可靠的知识；不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本；不仅研究宇宙的规律，也研究它自己；会怀疑自己整体，考虑自己的力量界限何在；总之，数学是人类理性发展最高的成就之一[1]。其实，数学家对于真理的追求，就像优秀的法官、律师、警察一样对于真相的执着。所以我们不妨结合这样的比喻来看看数学家是如何追求数学的完全性的。
对于经验科学来说，“定律”只要是从实践中归纳出来，并且经得起时间的检验就行。比如“摩尔定律[2]”――一个芯片产生后的18个月内，就会有新芯片产生，而且新芯片的容量是前者的两倍。这个定律，自英特尔微处理器公司创始人之一戈登o摩尔（GordonMoore）1965年提出以后，经验证一直是正确的。尽管我们都知道这样的“倍数”增长总会有暂停、减缓的一天，甚至也会有终结的一天。但对于经验科学来说，它就是真的。而对于数学而言，这样的“定律”无法接受，真理必须是永远的，即使人类永远无法追上它，但是还是需要一直坚持，不放弃！
欧几里得几何，被认为是“真理”的典范，因为它是公理化的标杆，从几个公理，就能够推出那么多的命题。可是数学家还是要怀疑，到底它是不是完全的。“完全”，或者“完备”，是数学家追求的一种数学的完美。也就是说“该有的都有，不该有的都没有”，具体地说，就是“该有的公理都有，不该有的公理都没有；该推理出来的（正确，能证明的）命题都可以由该公理系统产生，不该推理出来的（错误，不能证明的）命题都不能够由该公理系统产生”。简言之就是完整而且没矛盾。公理，不能多也不能少。比如第五公设，怀疑了那么久，最终无法推翻，可以说，到目前为止，欧几里得几何依然是完全的。
现在从对第五公设的质疑中，衍生了出“椭圆几何”来，该如何证明这个新系统的正确性？首先的一个可能就是大家都承认他本身无须证明，就是公理化，大家一起接受，而且长期受到检验就好了，也就是说至今为止，是完全的，那就是完全的。很明显，这样只是回到原点；所谓的构造主义就是这样的思想，构造主义者觉得只有一步步来，建立起来，跟欧几里得几何一样就行。就好比：一个入室抢劫的嫌犯A在犯罪现场附近被逮捕，法庭对其进行审理。如果他有前科，而且看着他长大的人们提供了很多负面的品德证明，大家都一致认定A就是罪犯，而疑犯也不作辩驳，那么就可以裁定他的罪了。
问题是，现在的法律不会这么草率，而很多数学家还是不满意。事实还有待证明，有人想了个办法，用欧几里得几何来证明椭圆几何的完备。这样做不难，可这到头来还是要依赖欧几里得的完备。就好比：警察刚抓来的另一个案件的疑犯B，B居然声称案发时间他正和A一起在钓鱼；而A也说出同样的话。让他们相互为对方作无罪证明，这不是很荒谬吗？
那就用别的办法吧，希尔伯特就是这么做的，他用笛卡儿坐标的方法，把几何系统转为代数系统，可是这样一来，又有问题了。等于说，现在抓住疑犯后，警察又找到了身家清白的C，C声称看到A在钓鱼。但是我们依然无法排除C作伪证的可能。谁又能证明C的话是真的呢？C无法证明自己的话，除非C是全社会都信赖的诚实者，是个“公理”。而如果要再靠另一个人D来证明C的诚实，那么问题就会掉进一个无底洞。当然，我们法庭上一般还是会接纳C的证词，因为C也要为自己的证词负上法律责任。只是数学家依然不满意。
接下来，希尔伯特抛弃了对于完全性进行相对证明的方法，他提出了一种新方法：构建“绝对”证明，即不用假定其他系统的完全性就可以证明一个系统的完全性。他想到的方法第一步就是将演绎系统完全形式化，把系统内的所有表达的意义都抽掉，把它们变成空洞的符号，这样就构建了一个本身没有任意意义的符号系统。这整套方法最终发展成为形式逻辑、数理逻辑。用这套最纯粹的方法，来衡量数学或者其他体系就可以保持纯粹。也就是说找一个最客观的证人，比如说警察找到了个监控摄像头，它完整地记录了犯罪现场案发的整个过程。因为它是个机器，没有任何主观倾向，可信度是高多了。可是我们还是可以怀疑：是否录像经过剪接处理，或者录像时间被改动。所以，到头来，这录像还是要经过专业的鉴定，法庭的认可才行。
最后的，应该是哥德尔的出场了，他是数学界的李昌钰，他用了一套具体的方法，这套方法被大家公认是可信的。比如康托的对角线法，还创造了一套大家都接受的方法――哥德尔数，也称编码法。他用的不是一套体系，而是用一些合理的推理方法。也就是相当于断案的时候，警察以一套大家都认可的方法，比如取脚印、指纹、DNA、衣物纤维等东西来判断疑犯是否有罪。最终哥德尔证明了警察找到的监控录像是真的，他指出“一阶逻辑”是完全的，希尔伯特“绝对证明”基本是有效的；可正在整个法庭都高兴万分时，哥德尔又提出了惊人的意见：罪犯另有其人。经过DNA鉴定，疑犯A的孪生兄弟a才是真正的罪犯。录像记录的是真相，但是我们又被真相所迷惑，抓错了人。而A又有意包庇a，所以大家都被蒙蔽了。案件终于得到圆满的解决，可是公正廉明的法官却忧心忡忡。因为哥德尔的证明，让他知道光依靠人证物证都不足够，这个体系到头来怎么说都是不完全的。总会有些案件无法得到确切地审理，总会有些人，你明知他无罪或有罪，却无法证明；因为依赖整个法律体系，自身无法证明自身的完美。
我们也许觉得这样较真毫无意义，但正因为较真，数学家才发现、创造了很多的方法。而正是这些方法切实改变了世界。正是这些努力，让我们可以打破人类的知觉的局限，挑战“无限”，解决了欧几里得和牛顿等人对于“无限”的烦恼；也正是这些努力，促进了计算机的诞生，发展了数学的技术完善了数学的应用性。一切正如老子所说，“无为而无所不为”。
3.2康托尔集合论――挑战“无限”
3.2.1集合论的具体背景――对无穷的理解读小学时，我们可能做过这样的应用题：100个人10天完成一项工作，那么1000个人得花多少天完成这项工作呢？很简单：“100×10÷1000＝1”，答案是1天，只需要一天。得到这个纯粹的答案时，我们一般没有任何疑惑。只是这个问题如果继续下去呢？10000个人0.1天可以完成吗？100000个人0.01天可以完成么？很明显，这样计算下去，结果肯定很荒谬。这是因为数学的计算是抽象、纯粹的，而它对应的具体世界却是复杂而变化的。尤其是遇到量变会引发质变的问题，就无法保持有效性了；更不要说遇到“无穷”的问题了。
希尔伯特说：“没有任何问题可以像无穷那样深深的触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他的概念能像无穷那样需要加以阐明。[3]”庄子说“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已”，也点出人类有限的感知能力，面对“无穷”的困难。数学处理“无穷”时，首先考虑就是寻找“无穷”中的“有限”，也就是寻找规律。比如在经典的数学故事中，少年高斯计算“1+2+3+…+100=5050”所使用的方法。现代数学对于复杂庞大的计算问题，还会动用电子计算机；而要借助计算机，也需要把无穷的可能变成有限的情形（比如计算机完成的四色定理证明），不然计算机也无能为力。比如著名的哥德巴赫猜想：任意大的偶数都可以表示为两个质数之和。欧几里得已经证明质数有无穷多个，因此我们无法判断这个命题是对还是不对。虽然随便给一个偶数，都能够印证命题的正确；但是偶数有无穷多个，你穷毕生精力也不会验证完。换言之，我们暂时找不到规律作为突破口。而这个问题，说到底就是触及了“无穷”。而且更准确的说是“找不到规律”的“无穷”。
一旦问题触及远远超乎我们人类所能的“无穷”，人类辛苦建立的数学大厦就有了巨大的危机。
其实，早在数学第一次危机，人类就跟“找不到规律”的“无穷”较上劲了。古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。他们非常重视有理数，因为只要是有限的小数，都可以化成两个整数的比（比如0.125，可以化成1/8），也就是说可以用简洁、抽象而且“有限”的表达来对应这个现实的世界。然而学派中的一个人――希帕索斯（Hippasus）在勾股定理的运用中发现了，以及后来发现的无理数，都是无限不循环的小数。等于说希帕索斯发现了超越学派力量的东西，这引起了他们极大的愤怒，传说他们把希帕索斯丢进了大海。无理数的发现，引发了第一次数学危机，这次危机促成了“公理化”思想，但并没有得到解决。它虽然使得数学家重新反思数学自身――“直觉经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的”；并且使得希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立几何学体系。但“公理化”其实也只是采取一种务实的态度，暂时搁置了这一问题。等于说，只要是在公理体系下，它存在了，就必须承认其存在。但其实，公理化对于“无穷”还是只能采取回避的态度，就连欧几里得，也只能把“质数有无穷多个”的命题，表述为“预先给定任意多个素数，则有比它们更多的素数”。