《科探柯菲》第6/132页
第二次数学危机，其实说到底也是无穷小的问题。对于无穷小的问题，其实早在希腊时期，芝诺就提出了著名的“运动是不可能的”悖论：明明运动是现实，只是一个人从甲地走到乙地，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循环下去，永远不能到终点。芝诺并不是什么唯心主义者，他要表达的其实是对于“无穷小”与“非常小”的不同。亚里士多德对于离散与连续（正如上述问题）的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷（大）和实在的无穷（大）加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的[4]。
我们能够接触到的只是非常大（或小），而接触不到“无穷大（或小）”。高斯说：“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”也就是说，他们都这样理解：无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在，简称为潜无限。之前有很多数学家把“无穷”看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。1692或1693年的1月17日，牛顿在写给理查德o本特利的信中，也提到：“一般人只是把无限理解为一种不确定性，并在这个意义上说一切无限都是相等的……数学家所应用的考虑无限的方法，那就是，在某种一定的限制和限度内，规定无限在相互之间有一定的差别或比例。[5]”
而十九世纪，由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具，同时关于微积分基础的问题也越来越严重，以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt，当Δt变成零时的值。Δt是零还是很小的量，还是什么东西？这个无穷小量究竟是不是零。引起了极大的争论，造成了第二次数学危机。
同时（十九世纪七十年代初），威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子（也就是说，发现了不可以进行微分处理的函数）。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二此数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础――实数论的问题。
柯西[6]（Cauchy，Augustin－Louis，1789～1857）在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他规定了极限：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限。”以此为基础，他指出f（x）的微分是“当变量α无限趋于零而量h保持不变时方程的左端所收敛的极限”。他把无穷，约束在“极限”这个概念中来进行处理，以此来消除“无限”带来的问题。在柯西那里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系。也就是说，因为“无穷”存在，所以设法把它纳入了公理化体系，给了它的“名分”。就这样，在柯西和其后一些数学家的努力下，克服了微积分带来的第二次数学危机。
3.2.2雾中之雾――康托尔的集合论之前，潜无穷思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，可是康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，正面探讨无穷。“正面”意味着康托尔要把无穷掌握在手中，进行审视。对于“无穷”我们知道它远远超乎我们人类的理解，而康托尔却不愿意放过它，一定要把它纳入到数学体系中来。当然，也因此，康托尔带来了现代数学。
1873年11月，康托尔（GeccCantor，德，1845～1918）在和戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，德）的通信中提到：有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合成一对一的对应……1873年12月7日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了。[4]可以这样理解，这时候，他已经把无穷纳入集合，而且还可以进行分析，关键就是可以进行分析，他采用的方法就是“一一对应”，这个方法简单，但是非常巧妙，因为它居然能够让无穷可以进行分析。1874年，康托尔在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，并提出：“所谓集合是把我们的直观或思维中确定、相互间有明确区别的那些对象（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑的结果。”1878年他在第二篇进化论论文中把隐含在1847年文章中的“一一对应”概念提出来作为判断两个集合相同或不同的基础。[4]集合论的核心难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合早就引起过数学家和哲学家的注意。早在中世纪，人们已经注意：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽利略发现：两个不同长的线段之间可以建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点；正整数可以和它们的平方构成一一对应。但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽利略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。所以伽利略，和许多数学家大多不赞成在无穷集之间使用“一一对应”的比较手段，因为它将出现“部分等于全体”，与《几何原本》中的第五公理“整体大于部分”矛盾，很明显这对公理体系造成威胁。
当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托尔认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托尔来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。[4]把本来无法接受的东西，理解为其特征，这就是康托尔的真正过人之处。
有了这样的理解，他先着手对付数学体系中最根本的“数”。他有几个发现：自然数集N与正偶数集具有了相同的个数（他将其称为可数集，概念上也称“可列”）；有理数集Q与自然数集等势（即一一对应），有理数集也是可数集；代数数（即整系数代数方程的根）集合也是可数集。按照这一思维惯性，我们会想：说到底，有理数、无理数、实数应该也是等势的，也是可数集吧，而出乎意料的是，他证明了实数集R的势大于自然数集，无理数多于有理数，而且看起来庞大的代数数远远少于超越数[7]。而当时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已。这是何等令人震惊的结果！
不仅如此，康托尔还成功证明了无穷集之间还存在着无穷多个层次，康托尔根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”。
这些内容，改变了我们的观点，而且其实主要就是两点：一、无穷有可数的也有不可数的，无穷并不是都相同的；二、无穷有层次，有些层次甚至是无穷的；而不是说无穷就是无穷那么简单。我们可以具体地进行理解：自然界最直接的展现就是自然数，比如1、2、3……它们毫无变化，固定地摆在那里，非常直观也非常简单；而有限的小数都可以用一组整数的比来表示，甚至一个小数点后很长的数，只要它有个终点，那么它就是有限的，虽然它比自然数复杂一点；可是遇到无穷的数就有点麻烦了，比如（1.333……），小数点后的3是无穷的，可是却没有复杂的变化，我们虽然看不到它的尽头，却能够知道它后面是什么东西，那么这样的无穷，还是比较好把握的，因为它的变化有规律，而且规律是可知可循的；而像这样的无理数，现在我们用根号，把它静态地表达出来了，但其实它实际上是一个无穷动态的数，如果我们速度够快想要看到它的全貌，顺着往后看小数点后面的数字，就会发现就算是光速，超越光速，乃至任何速度，我们其实也看不到它的全貌。
无限不循环小数，其数量如何大，因为其变化，可以是很多个层次的：比如0.125是个小数，它固定在那里，这样有理数是无穷多的；可是0.125……这样的一个无理数，它后面有着无穷的变化，这些变化可以称几何倍数增长，而且是无穷地进行下去，比如下一层，可以是0.1251……0.1252……0.1253……，而下一层中的0.1251……还可以有下一层得到变化0.12511……0.12512……0.12513……这样罗列下去，肯定是无穷无尽，不可列的。而像有理数，再如何多，不过是就是1，1/2，1/3，2/3，1/4，2/4，3/4，……这样的，我们肯定能够以一个层次就把它表示出来，而且我们完全可以看出其中的规律。所以同样是无穷，可是却是完全不同的。
随着实数不可数性质的确立，1874年，他又考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托尔自己起初也是这样认识的。但三年后，康托尔宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托尔本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。④康托尔为什么要思考点和线，甚至和连续空间的对应呢，这其实还是和微积分的理论基础，与几何、代数间的转换有关系。
之所以康托尔的思想让数学家们怀疑，就在于他不仅把无穷进行处理，而且还发现了此无穷与彼无穷可以存在着不同，他不仅指出“部分等于整体”，甚至“无穷还有大小不同”。而这些恰恰超乎我们的认知和理解，因为现实好像并非如此。而且康托尔抛出一个接一个的观点，就好比一部富有戏剧性作品的情节，一再地超越我们的逻辑惯性。所以他的观点，在当时被嘲讽为“雾中之雾”。
后来，等到大家都接受他的理论了，自然就有了清晰而且比较直观的理解方法，最好的就是“希尔伯特旅馆”的故事[8]：希尔伯特旅馆的房间数是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……也就是说这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合（1，2，3，4，…），称为可数无穷集。有一天，所有房间都住满了。可又来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板说：“满了，非常对不起。”正好旅馆老板的女儿来了，就说：“这好办，请已经入住的顾客都搬一下，搬到相邻的下一间房”。于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，这位客人住下了。这里其实说的就是正整数，与比所有正整数多了一个“0”的自然数，可以一一对应，是等势的。
第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”这里其实说的是奇数、偶数和正整数是等势的。又是一个部分等于整体，不过比上一个更超乎想象，因为直觉上奇数、偶数都是正整数的一半而已。
第三天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房来安排他们的亲友，这回老板女儿也被难住了，她想了很久，终于想出了办法：因为质数集合{2，3，5，7，11，13，…}有可数的无穷多个元素。借助这一点，她让第1个代表带的亲友依次入住21房，22房，23房，24房……；让第2个代表带的亲友依次入住31房，32房，33房，34房……让第3个代表带的亲友依次入住51房，52房，53房，54房等等。让第4个代表带的亲友依次入住71房，72房，73房，74房……依次下去，因为房间号是由质数的n次方计算出来的，所以房间号不会有重复现象出现。这里其实说的是质数，甚至以所有质数的n次方组成的集合，也能够和正整数一一对应。）
后来旅馆老板的女儿进了大学数学系，有一天，康托尔教授来上课，他问：“要是区间[0，1]上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。康托尔教授告诉她，用对角线方法可以证明这没有可能。为了探讨其思考的过程，我们不妨看看康托尔对此的原始论证：1.假设区间[0，1]中的点数是可数无穷大的（这样就可以住进希尔伯特旅馆了）
2.于是乎我们可以把所有在这区间内的数字排成数列，（r1，r2，r3，...）
3.已知每一个这类的数字都能以小数形式表达4.我们把这些数字排成数列（这些数字不需按序排列；事实上，有些可数集，例如有理数也不能按照数字的大小把他们全数排序，但单只是成数列就没有问题）在部份有多种表达形式的数字上，例如0.499...=0.500...，我们选择前者.5. 举例，如果该数列小数形式表现如下：r1=0.5105110...r2=0.4132043...r3=0.8245026...r4=0.2330126...r5=0.4107246...r6=0.9937838...r7=0.0105135......6.考虑rk小数点后的第k个位（为了方便起见，我们以“下加线”和“粗体”来展现这些数字，从上图可明白为什么这个证明被称为对角论证法）
7.我们设一实数x∈[0，1]，其中x是因应以下的方式定义的如果rk的第k个小数位等于5，那么x的第k个小数位是4如果rk的第k个小数位不等于5，那么x的第k个小数位是58.明显地x是一个在区间[0，1]内的实数，以之前的数为例，则相对应的x应为0.4555554...9.由于我们假设（r1，r2，r3，...）包括了所有区间[0，1]内的实数，所以一定有一个rn=x10.但由于x的特殊的定义，这使到x和rn的第n个小数位是不同的，所以x（r1，r2，r3，...）
11.所以（r1，r2，r3，...）并不能罗列所有区间[0，1]内的实数，这发生了矛盾。
12.所以在第一点内所提出的假设“区间[0，1]中的点数是可数无穷大的”是不成立的。
从康托尔的证明过程中，我们可以发现，面对无穷，康托尔先采用了反证法，这样可以回避无穷；在具体的推理中，和前面采取的对应方法一样，因为区间[0，1]存在着理数，和更多的无理数，而且无理数是变化且无穷的，于是康托尔就可以确定了一个必然存在的x，对其存在的特点作了定义（给其一个无法自圆的法则，这个法则又与其它变化无穷的数建立必然联系），让它的存在与秩序本身产生冲突，以此来证明。这种方法可以说是康托尔的真正创造力所在：想要推翻一个体系，就是按照体系的规则，寻找或者制造一个该体系无法容纳的元素。这一方法，在后来的哥德尔、图灵的证明中都是关键。
希尔伯特旅馆的故事可以清楚地告诉我们，为什么说“一一对应”为什么可以得到超乎想象的结果。小小的区间[0，1]上每一个点也是一个无穷集合，可是它无法跟无穷的正整数一一对应。就像英国著名诗人布莱克在诗歌“一沙一世界，一花一天堂。君掌盛无边，刹那含永劫”中表达的：无限的微小中其实包含着更复杂的无限。
康托尔创立的集合论，第一次给无穷建立抽象的符号系统和确定的运算，并且从本质上探讨了无穷的特性。改变了人们对“无穷”的理解。推进了数学追求完备的发展。
3.3罗素悖论现在康托尔已经把无穷都纳入集合之中，数学系统应该是完美的了，1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。”但罗素（B.Russell）想的是，集合论把无穷都纳入了，那么它自身有没有包含自身呢？如果不包含自身还完整么？如果包含自身，能够没有矛盾么？
其实，康托尔本人在这之前已经意识到集合论的内在矛盾。他在1899年7月28日给戴德金的信中指出，不能谈论由一切集合构成的集合，否则就会陷入矛盾。这实际上就是罗素悖论的内容。
罗素在1903年出版的《数学的原理》（PrinciplesofMathematics）中，十分清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础。罗素的悖论是说可以把集合分成两类：凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身作为元素的集会称为第二类的集合，每个集合成为第一类集合或为第二类集合。设M表示第一类集合全体所成的集合。如果M是第一类集合，MM，但由于M的定义，M∈M，导致矛盾。如果M是第二类集合，则M∈M，但由于M的定义，第二类集合MM，同样也导致矛盾。发现了这个矛盾之后，导致第三次数学危机。由于20世纪数学的发展主流是建立在集合论的基础之上。大致有两种解决方法：一是罗素的分支分类型论，一是公理方法限制集合，由此产生公理集合论。[9]罗素的悖论有个通俗的表达――“理发师悖论”：一个理发师约定，只为那些“不给自己刮脸的人”刮脸，而不为那些“给自己刮脸的人”刮脸。那么，他给不给自己刮脸呢？若他给自己刮脸，那他是“给自己刮脸的人”，显然违反了自己的约定；若他不给自己刮脸，那他是“不给自己刮脸的人”，显然也违反了自己的约定，于是理发师陷入了矛盾之中。
其实这样的悖论自古就有很多，比如公元前6世纪希腊时代的一个哲学家艾皮米尼地斯（Epimenides）提出的悖论：艾皮米尼地斯（本身是个克利特人）说，所有的克利特人都是说谎的人。矛盾在于“艾皮米尼地斯说这话，他是不是在说谎”。这个悖论，也被简化为“我正在说谎”或“这句话是谎话”。
罗素把悖论加以分析之后认为：一切悖论的共同特征是“自我指谓”或自指示，自反性。它们都来源于某种“恶性循环”。这种恶性循环来源于某种不合法的集体（或总体或全体）。这类集体的不合法之处在于，定义它的成员时，要涉及到这个集体的整体。罗素悖论是最明显的例子。定义不属于自身的集合时，涉及到“自身”这个整体，就是不合法的，这种涉及自身的定义称为非直谓定义。所以要避免悖论，只需遵循“（消除）恶性循环原理”，“凡是涉及一个集体的整体的对象，它本身不能是该集体的成员”。根据这个原则，罗素提出他的分支类型论。罗素还谈论“所有”和“任何”的区别。“所有”由普遍量词的束缚变元来表示，它们跑遍一个类型；而“任何”则由自由变元来表示，它们可以指任何不确定的事物，而不管其类型如何。因此自由变元是没有任何妨碍的。[4]这也是对于语词本身，思维本身的反思。
罗素悖论很有名，甚至远远超过了他的著作《数学原理》，但其实罗素悖论本身并不重要，因为康托尔自己也知道，而且罗素的悖论自古就有很多相关的内容。重要的是罗素借此提出了分支类型论，他的目的是完善集合论，将数学基础进一步严密化。
而另一个人E.策梅罗（Zermelo，1871～1953），则采用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。他的著名论文《关于集合论基础的研究Ⅰ》是这样开始的：“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础；因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。但是，在当前，这门学科的存在本身似乎受到某种矛盾或者悖论的威胁，而这些矛盾和悖论似乎是从它的根本原理导出来的。而且一直到现在，还没有找到适当的解决办法。面对着罗素关于‘所有不包含以自己为元素的集合的集合’的悖论，事实上，它今天似乎不能再容许任何逻辑上可以定义的概念‘集合’或‘类’为其外延。康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象作为一个总体。肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它，而不引起任何疑虑。在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。也就是从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学科的基础所要求的。这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。同时，又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。”
在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们④，在这篇文章中，他还引进七条公理：决定性公理（外延公理），初等集合公理（包括空集公理、单元素公理、对集公理），分离公理，幂集公理，并集公理，选择公理，无穷公理。策梅罗的公理集合论还是有问题的，所以后来有很多人加以严格处理及补充，才成为严格的公理系统，即ZF或ZFS系统（其中Z代表策梅罗，F代表弗兰克尔，S代表斯科兰姆）。常用的集合论公理系统除了ZF之外，还有由冯o诺依曼开创并由贝耐斯、哥德尔加以改进、简化的集合论公理系统―NBG系统（有时简称为BG系统，N代表冯o诺依曼，B代表贝耐斯，G代表哥德尔）。有人认为NBG是ZF的一个扩充，这样一来就变成了数学家可以根据不同的需要来选用自己认为方便的公理系统。
到了这里，我们就发现了一个问题，数学到底在走一条什么样的路？本来一个近乎“完美”（“简洁而完备”）的欧几里得体系，随着发展需要，各种新的方法，不断产生，比如牛顿发明的微积分。而新发明的方法却有理论缺陷，所以必须不断地加以深入理解，于是就有康托尔“集合论”来扩大对于“无限”的思考和分析。而扩大了之后的体系，又需要有更完善的“定义”或者“规则”来使得体系符合原始的“公理化”思想。具体地说，就比如一开始人类就使用的与自然界能够直接对应的“自然数”（正整数），是多么的清晰易懂，又是多么的合理协调。但随着人类社会生活的发展需要，后来又出现了“负数”、“分数”。数学家瓦里斯提出悖论，当a是一个正数时，比值a／0是无穷大，那么把分母变成负数，即在a／b中，b为负数时，这个比就应该大于a／0，因为分母比0小，这个比就应该是大于无穷大，“负数大于无穷大同时小于零”这是非常荒谬的事。我们可以看到，引进了新的数，就会带来新的问题。当然我们可以通过规定来制止这样的问题，比如除数不能为“0”。这样虽然是迫不得已，但是我们还是可以不断发展数学。